II 권
명제
주어진 두 선분 중 한 선분을 여러 개로 잘라서 만든 선분들과 남은 한 선분으로 만든 직사각형들의 넓이의 합은 주어진 두 선분으로 만든 직사각형의 넓이와 같다.
주어진 두 선분 \(\rm AB\)와 \(\rm CD\)로 이루어진 직사각형의 넓이는 선분 \(\rm CD\) 위에 점 \(\rm E\), \(\rm F\)를 잡아 세 선분 \(\rm CE\), \(\rm EF\), \(\rm FD\)으로 나누면, (두 선분 \(\rm AB\)와 \(\rm CD\)로 만든 직사각형의 넓이)\(=\)(두 선분 \(\rm AB\)와 \(\rm CE\)로 만든 직사각형의 넓이)\(+\)(두 선분 \(\rm AB\)와 \(\rm EF\)로 만든 직사각형의 넓이)\(+\)(두 선분 \(\rm AB\)와 \(\rm FD\)로 만든 직사각형의 넓이)이다. 즉, \(\overline{\rm AB}\times\overline{\rm CD}=\overline{\rm AB}\times\overline{\rm CE}+\overline{\rm AB}\times\overline{\rm EF}+\overline{\rm AB}\times\overline{\rm FD}\)이다.
주어진 두 선분 \(\rm AB\)와 \(\rm CD\)로 이루어진 직사각형의 넓이는 선분 \(\rm CD\) 위에 점 \(\rm E\), \(\rm F\)를 잡아 세 선분 \(\rm CE\), \(\rm EF\), \(\rm FD\)으로 나누자.
그러면, (두 선분 \(\rm AB\)와 \(\rm CD\)로 만든 직사각형의 넓이)\(=\)(두 선분 \(\rm AB\)와 \(\rm CE\)로 만든 직사각형의 넓이)\(+\)(두 선분 \(\rm AB\)와 \(\rm EF\)로 만든 직사각형의 넓이)\(+\)(두 선분 \(\rm AB\)와 \(\rm FD\)로 만든 직사각형의 넓이)임을 보이자. 즉, \(\overline{\rm AB}\times\overline{\rm CD}=\overline{\rm AB}\times\overline{\rm CE}+\overline{\rm AB}\times\overline{\rm EF}+\overline{\rm AB}\times\overline{\rm FD}\)임을 보이자.
선분 \(\rm CD\)에 수직이 되도록 점 \(\rm C\)에서 선분 \(\rm CG\)를 그릴 수 있다. [I권 명제11]
\(\overline{\rm CH}=\overline{\rm AB}\)가 되도록 선분 \(\rm CG\) 위에 점 \(H\)를 잡자. [I권 정의3]
점 \(\rm H\)에서 선분 \(\rm CD\)와 평행한 선분 \(\rm HI\)을 그을 수 있다. [I권 명제31]/p>
점 \(\rm D\), \(\rm E\), \(\rm f\)에서 선분 \(\rm CG\)와 평행한 선분 \(\rm HI\)와의 교점을 각각 점 \(\rm I\), \(\rm J\), \(\rm K\)라고 하자. 점 \(\rm D\)와 점 \(\rm I\)를 연결한 선분 \(\rm DI\)를 그리자. 같은 방법으로 선분 \(\rm EJ\)와 \(\rm FK\)를 그을 수 있다. [I권 공리 1]
그러면, \(\overline{\rm CH}=\overline{\rm DI}=\overline{\rm EH}=\overline{\rm FK}\)이다. [I권 명제34]
또한 \(\overline{\rm CH}=\overline{\rm AB}\) 이므로 \(\overline{\rm CH}=\overline{\rm AB}=\overline{\rm CH}=\overline{\rm DI}=\overline{\rm EH}=\overline{\rm FK}\)이다. 그러므로
(직사각형 \(\rm CHID\) 넓이)\(=\overline{\rm AB}\times\overline{\rm CD}\)
\(=\overline{\rm AB}\times\left(=\overline{\rm CE}+\overline{\rm EF}+\overline{\rm FD} \right)\)
\(=\overline{\rm AB}\times\overline{\rm CE}+\overline{\rm AB}\times\overline{\rm EF}+\overline{\rm AB}\times\overline{\rm FD}\)
\(=\overline{\rm CH}\times\overline{\rm CE}+\overline{\rm CH}\times\overline{\rm EF}+\overline{\rm CH}\times\overline{\rm FD}\)
\(=\)(직사각형 \(\rm CHJE\) 넓이)\(+\)(직사각형 \(\rm EJKF\) 넓이)\(+\)(직사각형 \(\rm KFID\) 넓이)이다. [II권 정의 1]
그러므로 (두 선분 \(\rm AB\)와 \(\rm CD\)로 만든 직사각형의 넓이)\(=+\)(두 선분 \(\rm AB\)와 \(\rm CE\)로 만든 직사각형의 넓이)\(+\)(두 선분 \(\rm AB\)와 \(\rm EF\)로 만든 직사각형의 넓이)\(+\)(두 선분 \(\rm AB\)와 \(\rm FD\)로 만든 직사각형의 넓이)이다. 그러므로 \(\overline{\rm AB}\times\overline{\rm CD}=\overline{\rm AB}\times\overline{\rm CE}+\overline{\rm AB}\times\overline{\rm EF}+\overline{\rm AB}\times\overline{\rm FD}\)이다.
그러므로 주어진 두 선분 중 한 선분을 여러 개로 잘라서 만든 선분들과 남은 한 선분으로 만든 직사각형들의 넓이의 합은 주어진 두 선분으로 만든 직사각형의 넓이와 같다.
Q.E.D.
원론의 [II권 정의1]는, “직사각형은 두 선분에 의해 포함된다.”라고 되어 있다. 이 의미는 두 선분을 두 변으로 하는 직사각형을 작도할 수 있다는 의미이다. 어떤 의미에서는 두 선분의 곱의 의미도 담고 있다.
이 명제는 \(\overline{\rm CD}=\overline{\rm CE}+\overline{\rm EF}+\overline{\rm FD}\)이면 \(\overline{\rm AB}\times\overline{\rm CD}=\overline{\rm AB}\times\overline{\rm CE}+\overline{\rm AB}\times\overline{\rm EF}+\overline{\rm AB}\times\overline{\rm FD}\)인 것을 증명하였다.
현대 대수학에서는 ‘\(y=y_1+y_2+y_3+\cdots+y_n\)이면 \(xy=xy_1+xy_2+xy_3+\cdots+xy_n\)’이다. 이를 한 문장으로도 표현하면 \(x\left(y_1+y_2+y_3+\cdots+y_n\right)=xy_1+xy_2+xy_3+\cdots+xy_n\)이다. 단, \(x\), \(y_i\)(\(i\)는 \(1\), \(2\), \(3\), \(\cdots\), \(n\)), \(n\)은 임의의 자연수이다. 현대 용어로는 이 성질은 ‘덧셈에 대한 곱셈의 분배법칙’이라고 한다.