증명

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주어진 예각삼각형 \(\rm ABC\)가 있다.

그러면, 예각인 각 \(\rm B\)와 마주 보고 있는 변 \(\rm AC\)를 한 변으로 하는 정사각형 넓이는 예각 \(\rm B\)를 끼고 있는 두 변 \(\rm AB\), \(\rm BC\)를 가지고 만든 각각의 정사각형들을 넓이를 더한 것보다 작고, 그 차이는 다른 한 꼭지점 \(\rm A\)에서 변 \(\rm BC\)에 내린 수선의 발을 점 \(\rm D\)이라고 하면 변 \(\rm BC\)와 선분 \(\rm BD\)를 가지고 만든 직사각형 넓이의 두 배임을 보이자.

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각 \(\rm B\)가 예각(\(\angle\rm B<90^\circ\))인 삼각형 \(\rm ABC\)에서, 점 \(\rm A\)에서 변 \(\rm BC\)에 내린 수선의 발을 \(\rm D\)라고 하자. [I권 명제 12]

그러면 \(\overline{\rm AC}^2=\cdot\overline{\rm CB}^2-\overline{\rm BA}^2+2\cdot\overline{\rm CB}\cdot\overline{\rm BD}\) 이어서 \(\overline{\rm AC}^2<\overline{\rm CB}^2+\overline{\rm BA}^2\)임을 보이면 된다.

선분 \(\rm CB\)를 선분 \(\rm CB\) 위의 임의의 점 \(\rm D\)에 의해서 나누어졌다. 따라서 \(\overline{\rm CB}^2+\overline{\rm BD}^2=2\cdot\overline{\rm CB}\cdot\overline{\rm BD}+\overline{\rm DC}^2\)이다. [II권 명제 7]

양변에 \(\overline{\rm DA}^2\)을 각각 더하자. 그러면

\(\overline{\rm CB}^2+\overline{\rm BD}^2+\overline{\rm DA}^2=2\cdot\overline{\rm CB}\cdot\overline{\rm BD}+\overline{\rm DC}^2+\overline{\rm AD}^2\)----(1)

이다.

그런데, 삼각형 \(\rm ADB\)는 \(\angle\rm D=90^\circ\)인 직각삼각형이므로

\(\overline{\rm AB}^2=\overline{\rm DB}^2+\overline{\rm DA}^2\) ----(2)

이고, 삼각형 \(\rm ADC\)는 \(\angle\rm D=90^\circ\)인 직각삼각형이므로

\(\overline{\rm AC}^2=\overline{\rm AD}^2+\overline{\rm DC}^2\)----(3)

이다. 식 (2)와 식 (3)을 식 (1)에 대입하면

\(\overline{\rm CB}^2+\overline{\rm AB}^2=2\cdot\overline{\rm CB}\cdot\overline{\rm BD}+\overline{\rm AC}^2\)

이다. 또한

\(\overline{\rm AC}^2=\overline{\rm CB}^2+\overline{\rm AB}^2-2\cdot\overline{\rm CB}\cdot\overline{\rm BD}\)

이므로

\(\overline{\rm AC}^2<\overline{\rm CB}^2+\overline{\rm BA}^2\)

이다.

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그러므로 주어진 예각삼각형에 대하여, 그 예각삼각형의 예각과 마주보는 변을 가지고 만든 정사각형 넓이는 예각을 끼고 있는 두 변들을 가지고 만든 각각의 정사각형 넓이의 합보다 작다. 그 차이는 다른 한 꼭짓점에서 예각을 끼고 있는 변에 내린 수선의 발로 변이 나누어지게 되는데 그 변과 나누어진 변 중 예각 쪽 변으로 만든 직사각형 넓이의 두 배이다.

Q.E.D.