II 권
명제
주어진 둔각삼각형에 대하여, 주어진 둔각삼각형의 둔각과 마주 보는 변(대변)을 가지고 만든 정사각형 넓이는 둔각을 끼고 있는 두 변들로 각각 만든 정사각형들의 넓이의 합보다 크다. 또한 그 차이는 둔각을 끼고 있는 한 변을 길게 늘이고 그것과 마주 보는 점에서 그 변에 수직이 되도록 선분을 그렸을 때, 그 변과 둔각의 바깥쪽에서 수선의 발에 의해 잘린 선분을 가지고 만든 직사각형의 넓이의 2배이다.
주어진 둔각삼각형 \(\rm ABC\)에서 각 \(\rm BAC\)가 둔각(\(\angle\rm BAC>90^\circ\))이라 하고 선분 \(\rm CA\)를 길게 늘이고, 점 \(\rm B\)에서 반직선 \(\rm CA\)에 수직이 되도록 선분 \(\rm BD\)를 그리면, \(\overline{\rm BC}\)를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이는 \(\overline{\rm BA}\), \(\overline{\rm AC}\)를 각각 한 변으로 하는 정사각형의 넓이의 합보다 \(\overline{\rm CA}\)와 \(\overline{\rm AD}\)를 두 변으로 하는 직사각형 넓이의 두 배만큼 크다. 즉, \(\overline{\rm BC}=\overline{\rm BA}^2+\overline{\rm AC}^2+2\cdot\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm AD}\) 이어서 \(\overline{\rm BC}>\overline{\rm BA}^2+\overline{\rm AC}^2\)이다.
어진 둔각삼각형 \(\rm ABC\)에서 각 \(\rm BAC\)가 둔각(\(\angle\rm BAC>90^\circ\))이라 하고 선분 \(\rm CA\)를 길게 늘이고, 점 \(\rm B\)에서 반직선 \(\rm CA\)에 수직이 되도록 선분 \(\rm BD\)를 그리자.
그러면, \(\overline{\rm BC}\)를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이는 \(\overline{\rm BA}\), \(\overline{\rm AC}\)를 각각 한 변으로 하는 정사각형의 넓이의 합보다 \(\overline{\rm CA}\)와 \(\overline{\rm AD}\)를 두 변으로 하는 직사각형 넓이의 두 배만큼 크다는 것을 보이자. 즉, \(\overline{\rm BC}=\overline{\rm BA}^2+\overline{\rm AC}^2+2\cdot\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm AD}\) 이어서 \(\overline{\rm BC}>\overline{\rm BA}^2+\overline{\rm AC}^2\)임을 보이자.
삼각형 \(\rm ABC\)가 각 \(\rm BAC\)가 둔각(\(\angle\rm BAC>90^\circ\))인 둔각삼각형이라고 하자. 선분 \(\rm CA\)를 길게 늘이고 점 \(\rm B\)에서 반직선 에 \(\rm CA\)내린 수선의 발을 점 \(\rm D\)라고 하고, 선분 \(\rm BD\)를 그리자.
선분 \(\rm CD\)를 점 \(\rm A\)가 자른다. 따라서 \(\overline{\rm DC}^2=\overline{\rm CA}^2+\overline{\rm AD}^2+2\cdot\overline{\rm CA}\cdot\overline{\rm AD}\)이다. [II권 명제 4]
양변에 \(\overline{\rm DB}^2\)을 각각 더하자. 그러면 \(\overline{\rm DC}^2+\overline{\rm DB}^2=\overline{\rm CA}^2+\overline{\rm AD}^2+\overline{\rm DB}^2+2\cdot\overline{\rm CA}\cdot\overline{\rm AD}\)이다.
그런데 \(\angle\rm D=90^\circ\)인 직각삼각형 \(\rm BDC\)에서 \(\overline{\rm CB}^2=\overline{\rm CD}^2+\overline{\rm DB}^2\)이고, 직각삼각형 \(\rm BDA\)에서 \(\overline{\rm AB}^2=\overline{\rm AD}^2+\overline{\rm DB}^2\)이다. [I권 명제 47]
따라서
\(\overline{\rm CD}^2+\overline{\rm DB}^2=\overline{\rm CA}^2+\overline{\rm AD}^2+\overline{\rm DB}^2+2\cdot\overline{\rm CA}\cdot\overline{\rm AD}\)
\(\overline{\rm CB}^2=\overline{\rm CA}^2+\overline{\rm AB}^2+2\cdot\overline{\rm CA}\cdot\overline{\rm AD}\)
이다. 따라서 \(\overline{\rm CB}^2>\overline{\rm CA}^2+\overline{\rm AB}^2\) 이다.
그러므로 주어진 둔각삼각형에 대하여, 주어진 둔각삼각형의 둔각과 마주 보는 변(대변)을 가지고 만든 정사각형 넓이는 둔각을 끼고 있는 두 변들로 각각 만든 정사각형들의 넓이의 합보다 크다. 또한 그 차이는 둔각을 끼고 있는 한 변을 길게 늘이고 그것과 마주 보는 점에서 그 변에 수직이 되도록 선분을 그렸을 때, 그 변과 둔각의 바깥쪽에서 수선의 발에 의해 잘린 선분을 가지고 만든 직사각형의 넓이의 2배이다.
Q.E.D.
둔각에 대한 이 명제와 예각 삼각형에 대한 다음 명제는 직각 삼각형에 대한 피타고라스 정리, [I권 명제47]을 확장시킨다. [I권 명제 47]에 따르면 삼각형 \(\rm ABC\)에서 이라고 \(\angle\rm A=90^\circ\)하고 각 \(\rm A\), 각 \(\rm B\), 각 \(\rm C\)의 대변을 각각 \(a\), \(b\), \(c\)라고 하자. 그러면 이 명제에서 \(\angle\rm A=90^\circ\)이면 \(a^2=b^2+c^2\)이다. 결론적으로 \(a^2=b^2+c^2+2\cdot c\cdot\overline{\rm AD}\)이다. 다음 명제 [II권 명제 13]은 각 \(\rm A\)가 예각인 삼각형 \(\rm ABC\)가 예각삼각형일 때를 다루는 것이다.
이 결론은 비-직각삼각형에 대한 코사인 법칙이다.
\(a^2=b^2+c^2-2bc\cos\rm A\)
둔각의 코사인 값은 음수이고, \(\overline{\rm AD}=-b\cos \rm A\)이다. 원론이 출판된 후 언젠가 삼각법이 개발되었고, 여기에서 필요한 (음각의 코사인에 대한) 음수는 대부분의 삼각법이 개발된 후까지도 받아들여지지 않았다. 그럼에도 불구하고, [II권 명제 12]와 다음 [II권 명제13]은 코사인 법칙의 기하학적 버전으로 간주 될 수 있다.
이 두 명제는 원론에서 이 이후에서 사용되지 않았다.