II 권
명제
주어진 선분 위의 임의의 점에 대하여, 주어진 선분을 나누고 선분 전체와 나누어진 선분 중 한 선분으로 만든 직사각형 넓이와 나머지 선분으로 만든 정사각형 넓이와 같게 할 수 있다.
주어진 선분 \(\rm AB\) 위의 임의의 점 \(\rm H\)에 대하여, 선분 \(\rm AB\)와 선분 \(\rm HB\)로 만든 직사각형과 선분 \(\rm HA\)로 만든 정사각형의 넓이가 같다.
주어진 선분 \(\rm AB\) 위의 임의의 점 \(\rm H\)가 있다.
그러면, 선분 \(\rm AB\)와 선분 \(\rm HB\)로 만든 직사각형과 선분 \(\rm HA\)로 만든 정사각형의 넓이가 같다는 것을 보이자. 즉, \(\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BH}=\overline{\rm HA}^2\)임을 보이자.
선분 \(\rm AB\) 위에 임의의 점 \(\rm H\)가 있다. 그러면 선분 \(\rm AB\)로 정사각형 \(\rm ABDC\)를 작도하자. 선분 \(\rm AC\)의 중점 \(\rm E\)를 잡고 선분 \(\rm BE\)를 그리자. [I권 명제 46, 명제 10]
\(\overline{\rm EF}=\overline{\rm BE}\)인 선분 \(\rm CA\)를 연장한 반직선 위에 점 \(\rm F\)를 잡자. 선분 \(\rm AF\)를 한 변으로 하는 정사각형 \(\rm FAHG\)를 그리고, 선분 \(\rm GH\)의 연장한 반직선과 선분 \(\rm CD\)의 교점을 점 \(\rm K\)라고 하자. [I권 명제 3, 명제 46]
선분 \(\rm AB\)과 그 선분은 점 \(\rm H\)에의 해서 선분 \(\rm BH\), \(\rm HA\)로 나누어진다. 그러면 (두 선분 \(\rm AB\), \(\rm BH\)로 만든 직사각형 넓이)\(=\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BH}\)이고 (선분 \(\rm HA\)로 만든 정사각형 넓이)\(=\overline{\rm HA}^2\)이므로 이 둘이 같다는 것을 보일 것이다.
점 \(\rm E\)는 선분 \(\rm AC\)의 중점이므로 \(\overline{\rm AE}=\overline{\rm EC}\)이고, (두 선분 \(\rm CF\)와 \(\rm FA\)로 만든 직사각형 넓이)\(+\)(선분 \(\rm AE\)로 만든 정사각형 넓이)\(=\overline{\rm CF}\cdot\overline{\rm FA}+\overline{\rm AE}^2=\overline{\rm EF}^2=\)(선분 \(\rm EF\)로 만든 정사각형 넓이) 이다. [II권 명제 6]
그런데 \(\overline{\rm EF}=\overline{\rm EB}\)이므로 (두 선분 \(\rm CF\)와 \(\rm FA\)로 만든 직사각형 넓이)\(+\)(선분 \(\rm AE\)로 만든 정사각형 넓이)\(=\overline{\rm CF}\cdot\overline{\rm FA}+\overline{\rm AE}^2=\overline{\rm EB}^2=\)(선분 \(\rm EB\)로 만든 정사각형 넓이)이다.
그리고 \(\angle\rm A=90^\circ\)이므로 \(\overline{\rm BA}^2+\overline{\rm AE}^2=\overline{\rm EB}^2\)이다. 따라서 \(\overline{\rm CF}\cdot\overline{\rm FA}+\overline{\rm AE}^2=\overline{\rm BA}^2+\overline{\rm AE}^2\)이다.
양 변에 각각 \(\overline{\rm AE}^2\)을 빼자. 그러면 \(\overline{\rm CF}\cdot\overline{\rm FA}=\overline{\rm BA}^2\)이다.
\(\overline{\rm CF}\cdot\overline{\rm FA}\)\(=\)(직사각형 \(\rm FCKG\) 넓이) 이고 \(\overline{\rm AB}^2=\) (정사각형 \(\rm ACDB\) 넓이) 이므로 (직사각형 \(\rm FCKG\) 넓이)\(=\)\(\overline{\rm CF}\cdot\overline{\rm FA}=\overline{\rm AB}^2=\)(정사각형 \(\rm ACDB\) 넓이)이다. 또한 \(\overline{\rm AF}=\overline{\rm FG}\)이므로 (직사각형 \(\rm FCKG\) 넓이)\(=\)\(\overline{\rm CF}\cdot\overline{\rm FG}=\overline{\rm AB}^2=\)(정사각형 \(\rm ACDB\) 넓이) 이다.
각 변에 (직사각형 \(\rm ACKH\) 넓이)를 각각 빼자. 그러면
(직사각형 \(\rm FCKG\) 넓이)\(-\)(직사각형 \(\rm ACKH\) 넓이)\(=\)(정사각형 \(\rm ACDB\) 넓이)\(-\)(직사각형 \(\rm ACKH\) 넓이)
(정사각형 \(\rm FAHG\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm HKDB\) 넓이)이다.
\(\overline{\rm AB}=\overline{\rm BD}\)이므로 (직사각형 \(\rm HKDB\) 넓이)\(=\overline{\rm DB}\cdot\overline{\rm BH}=\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BH}\) 이고 (정사각형 \(\rm FAHG\) 넓이)\(=\overline{\rm HA}^2\) 이므로 \(\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BH}=\) (직사각형 \(\rm HKDB\) 넓이)\(=\)(정사각형 \(\rm FAHG\) 넓이)\(=\overline{\rm HA}^2\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BH}=\overline{\rm HA}^2\)이다.
그러므로 주어진 선분 위의 임의의 점에 대하여, 주어진 선분을 나누고 선분 전체와 나누어진 선분 중 한 선분으로 만든 직사각형 넓이와 나머지 선분으로 만든 정사각형 넓이와 같게 할 수 있다.
Q.E.D.
이 명제의 작도는 방정식 \(a\left(a-x\right)x=x^2\)을 기하학적으로 해를 구하기 위해 선분을 자르는 것이다.
이 작도는 IV권 명제 10의 증명에서 사용되며, 나중에 정오각형을 작도하는 데 사용된다. 이 명제는 VI 권 정의 3에 정의된 황금비(extreme and mean ratio)로 선을 자르는 명제 VI권 명제 30의 작도와 동일하며, 그 작도는 나중에 XIII권 명제17에서도 사용된다.
이 명제와 VI권 명제 30의 차이점은 용어의 문제이다. 선의 비율을 다루는 명제는 VI장에서 나오지만, 선과 관련된 비율은 사각형의 넓이에 대한 명제로 변환 될 수 있다. VI권 명제 16은 네 선분 \(A\), \(B\), \(C\), \(D\)가 \(A:B=C:D\)를 만족하면 \(AD=BC\)이어서 \(A\)와 \(D\)로 만든 직사각형 넓이와 \(B\)와 \(C\)로 만든 직사각형의 넓이가 같다.
이 명제의 작도는 \(\left(A+B\right)\cdot A=B^2\)이 되도록 \(A\), \(B\)의 두 부분으로 선분을 자르는 것이다. VI권 명제 30의 작도는 \(A+B:B=B:A\)를 VI권 명제 16에 의해 또는 그것의 특별한 경우 VI권 명제 17에 의해서 선분을 자르는 것이다.
선분 \(\rm AB\)를 자르기 위해서, 전체 증명같이 작도할 필요는 없다. 점 \(\rm D\), \(\rm G\), \(\rm K\)는 필요가 없다. 위 그림 처럼 작도에 필요한 선과 원만 관련되어 있으며, 관련성이 있는 부분만 작도하면 된다.
모두 6 개의 원을 작도하고 2 개의 선분이 연결되며 1 개의 선분이 확장된다. 작도 순서는 다음과 같다. 선분 \(\rm BA\)를 길게 확장하고 반지름 \(\overline{\rm AB}\)이고 중심이 점 \(\rm A\)인 원을 작도한다. 이 원과 반직선 \(\rm BA\)와의 교점을 점 \(\rm L\)이라고 하자. 반지름이 \(\overline{\rm BL}\)이고 중심이 \(\rm B\)인 원과 중심이 \(\rm L\)인 원을 작도한다. 선분 \(\rm MN\)을 그린다. 그런 다음 이 선분과 반지름 \(overline{\rm AB}\)이고 점 \(\rm A\)를 중심으로 하는 원과 만나는 교점이 점 \(\rm C\)이다. 반지름 \(\overline{\rm CA}\)이고 중심이 점 \(\rm C\)인 원을 그리고, 중심이 점 \(\rm A\)인 원과 만나는 두 점을 선분으로 연결한다. 연결한 선분과 선분 \(\rm AC\)를 만나는 교점을 점 \(\rm E\)이라고 하자. 반지름 \(\overline{\rm EB}\)이고 중심이 점 \(\rm E\)인 원과 선분 \(\rm AC\)의 확장된 선분과 만나는 교점을 점 \(\rm F\)라고 하자. 반지름 \(\rm AF\)이고 중심이 점 \(\rm A\)인 원과 선분 \(\rm AB\)와의 교점을 점 \(\rm H\)라고 하자. 이 점 \(\rm H\)가 이 명제에서 요구하는 두 선분을 자르는 지점이다.
이것은 황금비 개념을 다루는 원론에서의 몇 가지 명제들 중 첫 번째이다. 이 시점에서 비율이 도입되지 않았기 때문에 유클리드는 ‘주어진 선분 과 잘려진 선분 중 하나로 만든 직사각형 넓이가 나머지 선분으로 만든 정사각형 넓이와 같다.’를 만족하게 주어진 선분을 자르는 것으로 기본 용어로 설명하였다.