증명

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주어진 선분 \(\rm AB\)의 중점 \(\rm C\)로 이등분하고 선분 \(\rm BD\)가 일직선이 되도록 하자.

그러면, 선분 \(\rm AD\)와 선분 \(\rm DB\)로 각각 만든 정사각형들의 넓이의 합은 선분 \(\rm AC\)와 선분 \(\rm CD\)로 만든 정사각형들 넓이의 합의 두 배이 임을 보이자.

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점 \(\rm C\)에서 선분 \(\rm AB\)에 수직이고 \(\overline{\rm CE}=\overline{\rm AC}=\overline{\rm CB}\) 되도록 선분 \(\rm CE\)를 그리자. 점 \(\rm E\)를 지나고 선분 \(\rm AD\)에 평행하게 선분 \(\rm EF\)를 그리고, 점 \(\rm D\)를 지나고 선분 \(\rm CE\)에 평행하게 선분 \(\rm FD\)를 그리자. [I권 명제 11, 명제 3, 명제 31]

그러면 선분 \(\rm EF\)가 평행한 두 선분 \(\rm EC\), \(\rm FD\)와 만나기 때문에 \(\angle\rm CEF + \angle\rm EFD=180^\circ\)이다. [I권 법칙 29]

그런데 동측 내각의 합이 \(\rm 180^\circ\)보다 작으면 작은각 쪽에서 만난다.

\(\angle\rm FEB+\angle\rm EFD<180^\circ\)이므로 두 직선 \(\rm EB\), \(\rm FD\)를 점 \(\rm B\), \(\rm D\)방향으로 길게 늘이면 서로 만나게 된다. 만나는 점을 \(\rm G\)라 하고 선분 \(\rm AG\)를 그리자. [I권 공리 5]

\(\overline{\rm AC}=\overline{\rm CE}\)이므로 \(\angle\rm EAC=\angle\rm AEC\)이다. \(\rm C=90^\circ\)이므로 \(\angle\rm EAC=\angle\rm AEC=45^\circ\)이다. [I권 명제 5, 명제 32]

같은 이유로 \(\angle\rm CEB=\angle\rm EBC=45^\circ\)이기 때문에 \(\angle\rm AEB=90^\circ\)이다. 그리고 \(\angle\rm EBC=45^\circ\)이므로 \(\angle\rm DBG=45^\circ\)이다. [I권 명제 15, 명제 19]

또한 각 \(\rm BDG\)는 각 \(\rm DCE\)와 엇각이기 때문에 \(\angle\rm BDG=90^\circ\)이다. [I권 명제 29]

그러므로 남은 각 \(\rm DGB\)의 크기는 \(\angle\rm DGB=45^\circ\)이다. 그러므로 \(\angle\rm DGB=\angle\rm DBG\) 이어서 \(\overline{\rm BD}=\overline{\rm GD}\)이다. [I권 명제 15, 명제 29, 명제 32, 명제 6]

\(\angle\rm EFG=45^\circ\)이고, \(\angle\rm C=\angle\rm F=90^\circ\)이므로 각 \(\rm EGF\)의 대각인 각 \(\rm FEG\)의 크기가 \(\angle\rm EGF=\angle\rm FEG\)이므로 \(\angle\rm FEG=45^\circ\) 이다. 또한 \(\angle\rm EGF=\angle\rm FEG\) 이어서 \(\overline{\rm GF}=\overline{\rm EF}\)이다. [I권 명제 34, 명제 32, 명제 6]

(선분 \(\rm EC\)로 만든 정사각형 넓이)\(=\overline{\rm EC}^2=\overline{\rm CA}^2=\)(선분 \(\rm CA\)로 만든 정사각형 넓이)이므로 (선분 \(\rm EC\)로 만든 정사각형 넓이)\(+\)(선분 \(\rm CA\)로 만든 정사각형 넓이)\(=2\cdot\)(선분 \(\rm CA\)로 만든 정사각형 넓이)\(=2\cdot\overline{\rm CA}^2\)이다.

(선분 \(\rm EA\)로 만든 정사각형 넓이)\(=\overline{\rm EA}^2=\overline{\rm EC}^2+\overline{\rm CA}=\)(선분 \(\rm EC\)로 만든 정사각형 넓이)\(+\)(선분 \(\rm CA\)로 만든 정사각형 넓이)이다. 따라서 (선분 \(\rm EA\)로 만든 정사각형 넓이)\(=2\cdot\)(선분 \(\rm AC\)로 만든 정사각형 넓이) 이다. 즉, \(\overline{\rm EA}^2=2\cdot\overline{\rm AC}\)이다. [I권 명제 47]

\(\overline{\rm FG}=\overline{\rm EF}\)이므로 (선분 \(\rm FG\)로 만든 정사각형 넓이)\(=\overline{\rm FG}^2=\overline{\rm FE}^2=\)(선분 \(\rm FE\)로 만든 정사각형 넓이)이다. 그러므로

(선분 \(\rm FG\)로 만든 정사각형 넓이)\(+\)(선분 \(\rm FE\)로 만든 정사각형 넓이)\(=\overline{\rm FG}^2+\overline{\rm FE}^2=2\cdot \overline{\rm EF}^2=2\cdot\)(선분 \(\rm EF\)로 만든 정사각형 넓이)이다. 그런데

(선분 \(\rm EG\)로 만든 정사각형 넓이)\(=\overline{\rm EG}^2=\overline{\rm FG}+\overline{\rm FE}^2=\)(선분 \(\rm FG\)로 만든 정사각형 넓이)\(+\)(선분 \(\rm FE\)로 만든 정사각형 넓이)이다.

(선분 \(\rm EG\)로 만든 정사각형 넓이)\(=2\cdot\)(선분 \(\rm EF\)로 만든 정사각형 넓이)이다. 즉, \(\overline{\rm EG}^2=2\cdot \overline{\rm EF}^2\)이다. [I권 명제 47]

\(\overline{\rm CD}=\overline{\rm EF}\)이므로 (선분 \(\rm EG\)로 만든 정사각형 넓이)\(=\overline{\rm EG}^2=2\cdot\overline{\rm CD}^2=2\cdot\)(선분 \(\rm CD\)로 만든 정사각형 넓이)이다. 그런데

(선분 \(\rm EA\)로 만든 정사각형 넓이)\(=2\cdot\)(선분 \(\rm AC\)로 만든 정사각형 넓이) 즉, \(\overline{\rm EA}^2=2\cdot\overline{\rm AC}^2\) 이므로 (선분 \(\rm AE\)로 만든 정사각형 넓이)\(+\)(선분 \(\rm EG\)로 만든 정사각형 넓이)\(=\overline{\rm AE}^2+\overline{\rm EG}^2=2\cdot\left(\overline{\rm AC}+\overline{\rm CD}^2\right)=2\cdot\){(선분 \(\rm AC\)로 만든 정사각형 넓이)\(+\)(선분 \(\rm CD\)로 만든 정사각형 넓이)}이다. [I권 명제34]

(선분 \(\rm AG\)로 만든 정사각형 넓이)\(=\)(선분 \(\rm AE\)로 만든 정사각형 넓이)\(+\)(선분 \(\rm EG\)로 만든 정사각형 넓이) 즉, \(\overline{\rm AG}^2=\overline{\rm AE}^2+\overline{\rm EG}^2\)이다. 그러므로 (선분 \(\rm AG\)로 만든 정사각형 넓이)\(=\){(선분 \(\rm AC\)로 만든 정사각형 넓이)\(+\)(선분 \(\rm CD\)로 만든 정사각형 넓이)} 다시 말해서 \(\overline{\rm AG}^2=2\cdot\left(\overline{\rm AC}^2+\overline{\rm CD}^2\right)\) 이다. 또한

(선분 \(\rm AD\)로 만든 정사각형 넓이)\(+\)(선분 \(\rm DG\)로 만든 정사각형 넓이)\(=\)(선분 \(\rm AG\)로 만든 정사각형 넓이) 이다. 즉, \(\overline{\rm AD}^2+\overline{\rm DG}^2=\overline{\rm AG}^2\) 이다.

(선분 \(\rm AD\)로 만든 정사각형 넓이)\(+\)(선분 \(\rm DG\)로 만든 정사각형 넓이)\(=2\cdot\){(선분 \(\rm AC\)로 만든 정사각형 넓이)\(+\)(선분 \(\rm CD\)로 만든 정사각형 넓이)}이다. 즉, \(\overline{\rm AD}^2+\overline{\rm DG}=2\cdot\left(\overline{\rm AC}^2+\overline{\rm CD}^2\right)\)이다. [I권 명제 47]

그런데 \(\overline{\rm DG}=\overline{\rm DB}\)이므로 (선분 \(\rm AD\)로 만든 정사각형 넓이)\(+\)(선분 \(\rm DB\)로 만든 정사각형 넓이)\(=2\cdot\) {(선분 \(\rm AC\)로 만든 정사각형 넓이)\(+\)(선분 \(\rm CD\)로 만든 정사각형 넓이)}이 된다. 결론적으로 \(\overline{\rm AD}^2+\overline{\rm DB}^2=2\cdot\left(\overline{\rm AC}^2+\overline{\rm CD}^2\right)\)이다.

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그러므로 주어진 선분을 이등분하고, 이 선분과 주어진 다른 선분을 일직선이 되게 연결하면, 주어진 선분과 주어진 다른 선분을 일직선이 되게 연결하여 만든 선분으로 정사각형 넓이와 주어진 다른 선분으로 만든 정사각형 넓이의 합은 주어진 선분의 이등분된 선분으로 만든 정사각형 넓이와 나머지 이등분된 선분과 주어진 다른 선분을 일직선이 되게 연결한 선분으로 만든 정사각형 넓이의 합의 두 배와 같다.

Q.E.D.